В четверг, 7 декабря в 18.30 в конференц-зале МЦНМО (Большой Власьевский, 11)
состоится очередное (второе в этом учебном году) заседание геометрического семинара.
Докладчик: Николай Петрович Долбилин, "Теорема
Минковского о выпуклых многогранниках и ее применения".
Аннотацию к предстоящему докладу
Знаменитая теорема Минковского, доказанная в 1897 г., утверждает, что для любого конечного семейства векторов с нулевой суммой существует единственный выпуклый многогранник, грани которого перпендикулярны данным векторам, а площади граней равны длинам векторов.
Из этой теоремы вытекает ряд замечательных следствий.
Например, теорема Александрова-Шепарда-Макмюллена о том, что выпуклый многогранник с центрально-симметричными гранями сам является центрально-симметричным.
В докладе будут представлены также другие приложения теоремы Минковского.
Приглашаем постоянных участников семинара и всех желающих!
четверг, ноября 23, 2006
понедельник, октября 23, 2006
Теория множеств [2] - начало см. ниже
Операции над множествами:
T1 : Если x и y - множества, то {x,y} = {y,x} и {x,y} != {O}.
# Пусть z = {x,y}. По D2 /\(a) (a:-z <=> (a = x или a = y)) =>
# /\(a) (a:-z <=> (a = y или a = x)) =>z = {y,x}. По D2 x:-{x,y} =>
# {x,y} != {O} по ZF1.
D5 [Пересечение] : n(x) := {a:-u(x) | /\(b:-x) a:-b}.
D6 [Базовые операции] : x u y = u({x,y}) , x n y = n({x,y}), x\y = {a:-x|!(a:-y)}. x u y, x n y, x\y - множества: ZF5, ZF4.
T2 : Если x,y,z - множества, то
(1) x u y = z <=> /\(a) ( a:-z <=> (a:-x или a:-y) ),
(2) x n y = z <=> /\(a) ( a:-z <=> (a:-x и a:-y) ),
(3) x\y = z <=> /\(a) ( a:-z <=> a:-x и !(a:-y) ),
# (1) (=>) Пусть x u y = z. По D6 z = u({x,y}). Тогда /\(a) : a:-z <=> a:-u({x,y}) <=>
# \/(w) w:-{x,y} и a:-w <=> \/(w) (w = x или w = y) и a:-w <=> a:-x или a:-y. Q.E.D.
# (1) (<=) Пусть /\(a) a:-z <=> (a:-x или a:-y). /\(a) : a:-z <=> (a:-x или a:-y) <=>
# \/(w) (w = x или w = y) и a:-w <=> \/(w) w:-{x,y} и a:-w <=> a:-u({x,y}) <=>
# a:-x u y. z = x u y по ZF1. Q.E.D.
# (2) (=>) Заметим x n y = n({x,y}) = {a:-u({x,y}) | /\(b:-{x,y}) a:-b} = {a:-x u y | a:-x и a:-y}.
# Пусть x n y = z. Тогда z = {a:-x u y | a:-x и a:-y}. /\(a) очевидно (a:-z => a:-x и a:-y).
# Если a:-x и a:-y, тогда a:-u({x,y}) = x u y по D2, D6.
# Поэтому a:-{b:-x u y | b:-x и b:-y} по D3 => a:-z. Q.E.D
# (2) (<=) Пусть /\(a) a:-z <=> a:-x и a:-y. /\(a) : a:-z <=> a:-x и a:-y <=>
# a:-{b:-x u y | b:-x и b:-y} <=> a:- x n y => z = x n y по ZF1. Q.E.D.
# (3) x\y = z <=> z = {b:-x|!(b:-y)} <=> a:-z <=> a:-x и !(a:-y)). Q.E.D.
T3 [Булева Алгебра] : Если x,y,z - множества, то
(1) x u {O} = x,
(2) x u y = y u x,
(3) (x u y) u z = x u (y u z),
(4) x n {O} = {O},
(5) x n y = y n x,
(6) (x n y) n z = x n (y n z),
(7) x u (y n z) = (x u y) n (x u z),
(8) x n (y u z) = (x n y) u (x n z),
(9) z\(x u y) = (z\x) n (z\y),
(10) z\(x n y) = (z\x) u (z\y).
# легко доказать используя T2 и ZF1
D7 [Включение] : x c y <:=:> /\(a) (a:-x => a:-y).
T4 [Свойства включения] : Если x,y,z - множества, то
(1) {O} c x,
(2) x c x,
(3) x c y и y c z => x c z,
(4) x c y и y c x => x = y,
(5) x c y => (z u x) c (z u y),
(6) x c y => (z n x) c (z n y),
(7) y\x c y.
# легко доказать используя T2 и ZF1
T5 : Если x,y,z - множества, то
(1) x c y u x,
(2) x c y n x.
(3) y c x => x\(x\y) = y.
# (1) {O} c y по T4.1. В силу Т.4.5, T.3.1 x = (O u x) c y u x.
# (2) {O} c y по T4.1. В силу Т.4.5, T.3.1 x = (O n x) c y n x.
# (3) Имеем x\(x\y) = {z:-x | !(z:-x\y)} = {z:-x | !(z:-x и !(x:-y))} =
# = {z:-x | !(z:-x) or x:-y} = {z:-x | x:-y} = y.
T6 : Если x,z - множества, z:-x и z != O, то u(x) != O.
# /\(a) (a:-u(x) <=> \/(b:-x) a:-b) по D2. Имеем z:-x и z != O.
# Тогда a:-z => a:-u(x) => u(x) != O. Q.E.D.
T1 : Если x и y - множества, то {x,y} = {y,x} и {x,y} != {O}.
# Пусть z = {x,y}. По D2 /\(a) (a:-z <=> (a = x или a = y)) =>
# /\(a) (a:-z <=> (a = y или a = x)) =>z = {y,x}. По D2 x:-{x,y} =>
# {x,y} != {O} по ZF1.
D5 [Пересечение] : n(x) := {a:-u(x) | /\(b:-x) a:-b}.
D6 [Базовые операции] : x u y = u({x,y}) , x n y = n({x,y}), x\y = {a:-x|!(a:-y)}. x u y, x n y, x\y - множества: ZF5, ZF4.
T2 : Если x,y,z - множества, то
(1) x u y = z <=> /\(a) ( a:-z <=> (a:-x или a:-y) ),
(2) x n y = z <=> /\(a) ( a:-z <=> (a:-x и a:-y) ),
(3) x\y = z <=> /\(a) ( a:-z <=> a:-x и !(a:-y) ),
# (1) (=>) Пусть x u y = z. По D6 z = u({x,y}). Тогда /\(a) : a:-z <=> a:-u({x,y}) <=>
# \/(w) w:-{x,y} и a:-w <=> \/(w) (w = x или w = y) и a:-w <=> a:-x или a:-y. Q.E.D.
# (1) (<=) Пусть /\(a) a:-z <=> (a:-x или a:-y). /\(a) : a:-z <=> (a:-x или a:-y) <=>
# \/(w) (w = x или w = y) и a:-w <=> \/(w) w:-{x,y} и a:-w <=> a:-u({x,y}) <=>
# a:-x u y. z = x u y по ZF1. Q.E.D.
# (2) (=>) Заметим x n y = n({x,y}) = {a:-u({x,y}) | /\(b:-{x,y}) a:-b} = {a:-x u y | a:-x и a:-y}.
# Пусть x n y = z. Тогда z = {a:-x u y | a:-x и a:-y}. /\(a) очевидно (a:-z => a:-x и a:-y).
# Если a:-x и a:-y, тогда a:-u({x,y}) = x u y по D2, D6.
# Поэтому a:-{b:-x u y | b:-x и b:-y} по D3 => a:-z. Q.E.D
# (2) (<=) Пусть /\(a) a:-z <=> a:-x и a:-y. /\(a) : a:-z <=> a:-x и a:-y <=>
# a:-{b:-x u y | b:-x и b:-y} <=> a:- x n y => z = x n y по ZF1. Q.E.D.
# (3) x\y = z <=> z = {b:-x|!(b:-y)} <=> a:-z <=> a:-x и !(a:-y)). Q.E.D.
T3 [Булева Алгебра] : Если x,y,z - множества, то
(1) x u {O} = x,
(2) x u y = y u x,
(3) (x u y) u z = x u (y u z),
(4) x n {O} = {O},
(5) x n y = y n x,
(6) (x n y) n z = x n (y n z),
(7) x u (y n z) = (x u y) n (x u z),
(8) x n (y u z) = (x n y) u (x n z),
(9) z\(x u y) = (z\x) n (z\y),
(10) z\(x n y) = (z\x) u (z\y).
# легко доказать используя T2 и ZF1
D7 [Включение] : x c y <:=:> /\(a) (a:-x => a:-y).
T4 [Свойства включения] : Если x,y,z - множества, то
(1) {O} c x,
(2) x c x,
(3) x c y и y c z => x c z,
(4) x c y и y c x => x = y,
(5) x c y => (z u x) c (z u y),
(6) x c y => (z n x) c (z n y),
(7) y\x c y.
# легко доказать используя T2 и ZF1
T5 : Если x,y,z - множества, то
(1) x c y u x,
(2) x c y n x.
(3) y c x => x\(x\y) = y.
# (1) {O} c y по T4.1. В силу Т.4.5, T.3.1 x = (O u x) c y u x.
# (2) {O} c y по T4.1. В силу Т.4.5, T.3.1 x = (O n x) c y n x.
# (3) Имеем x\(x\y) = {z:-x | !(z:-x\y)} = {z:-x | !(z:-x и !(x:-y))} =
# = {z:-x | !(z:-x) or x:-y} = {z:-x | x:-y} = y.
T6 : Если x,z - множества, z:-x и z != O, то u(x) != O.
# /\(a) (a:-u(x) <=> \/(b:-x) a:-b) по D2. Имеем z:-x и z != O.
# Тогда a:-z => a:-u(x) => u(x) != O. Q.E.D.
Теория множеств [1]
Обозначения:
/\ - для любых
\/ - существует
! - не
:- принадлежит
<:=:> - тогда и только тогда по определению
:= - определяется как (равно по определению)
{O} - пустое множество
u(x) - объединение по всем элементам семейства x.
В ZF основными (неопределяемыми) понятиями являются = и :-.
Аксиомы теории множеств ZF:
ZF1 [Объёмности] : x = y <=> ( /\(z) z:-x <=> z:-y )
Два множества равны <=> они состоят из одних элементов.
ZF2 [Пустого можества] : \/(y) : /\(x) !(x:-y)
Существует пустое множество.
ZF3 [Неупорядоченной пары] : \/(z) : /\(a) : (a:-z <=> (a = x или a = y))
Для любых двух множеств, существует множество, чьими единственными элементами они являются.
ZF4 [Выделения] : /\(z) \/(y) : /\(x) ( x:-y <=> (x:-z и A(x)) ). A - не содержит y.
Для любого множества z и свойства A, такого что на z оно либо истино, либо ложно, существует множество, состоящее в точности из тех x, для которых A(x) - истинно.
ZF5 [Объединения] : \/(y) : /\(a) ( a:-y <=> (\/(z) z:-x и a:-z) ).
Для любого множества x существует множество u(x), состоящее в точности из всех элементов, принадлежащих элементам из x
ZF6 [Степени] : /\(x) \/(z) : /\(y)( y:-z <=> ( /\(a) (a:-y => a:-x) ) ).
Для любого множества x существует множество всех его подмножеств P(x).
ZF7 [Бесконечности] : \/(m) : {O}:-m и /\(x) (x:-m => u({x,{x}}):-m).
Индуктивные множества существуют.
ZF9 [Фундирования] : x != {O} => \/(y) (y:-x и /\(a) !(a:-x и a:-y)).
Не существует убывающих цепей: x:-x, x:-y:-x, x:-y:-z:-x, ...
Определения:
D1 : {O} = y <:=:> /\(x) !(x:-y). Определение корректно, т.к. такое множество единственно: ZF1.
D2 : {x,y} = z <:=:> /\(a) (a:-z <=> (a = x или a = y)). Определим {x} = {x,x}. Корректно: ZF1.
D3 : {x:-z | A} = y <:=:> if /\(x) ( x:-y <=> (x:-z и A) ). Корректно: ZF1.
D4 : u(x) = y <:=:> /\(a) ( a:-y <=> (\/(z) z:-x и a:-z) ). Корректно: ZF1.
/\ - для любых
\/ - существует
! - не
:- принадлежит
<:=:> - тогда и только тогда по определению
:= - определяется как (равно по определению)
{O} - пустое множество
u(x) - объединение по всем элементам семейства x.
В ZF основными (неопределяемыми) понятиями являются = и :-.
Аксиомы теории множеств ZF:
ZF1 [Объёмности] : x = y <=> ( /\(z) z:-x <=> z:-y )
Два множества равны <=> они состоят из одних элементов.
ZF2 [Пустого можества] : \/(y) : /\(x) !(x:-y)
Существует пустое множество.
ZF3 [Неупорядоченной пары] : \/(z) : /\(a) : (a:-z <=> (a = x или a = y))
Для любых двух множеств, существует множество, чьими единственными элементами они являются.
ZF4 [Выделения] : /\(z) \/(y) : /\(x) ( x:-y <=> (x:-z и A(x)) ). A - не содержит y.
Для любого множества z и свойства A, такого что на z оно либо истино, либо ложно, существует множество, состоящее в точности из тех x, для которых A(x) - истинно.
ZF5 [Объединения] : \/(y) : /\(a) ( a:-y <=> (\/(z) z:-x и a:-z) ).
Для любого множества x существует множество u(x), состоящее в точности из всех элементов, принадлежащих элементам из x
ZF6 [Степени] : /\(x) \/(z) : /\(y)( y:-z <=> ( /\(a) (a:-y => a:-x) ) ).
Для любого множества x существует множество всех его подмножеств P(x).
ZF7 [Бесконечности] : \/(m) : {O}:-m и /\(x) (x:-m => u({x,{x}}):-m).
Индуктивные множества существуют.
ZF9 [Фундирования] : x != {O} => \/(y) (y:-x и /\(a) !(a:-x и a:-y)).
Не существует убывающих цепей: x:-x, x:-y:-x, x:-y:-z:-x, ...
Определения:
D1 : {O} = y <:=:> /\(x) !(x:-y). Определение корректно, т.к. такое множество единственно: ZF1.
D2 : {x,y} = z <:=:> /\(a) (a:-z <=> (a = x или a = y)). Определим {x} = {x,x}. Корректно: ZF1.
D3 : {x:-z | A} = y <:=:> if /\(x) ( x:-y <=> (x:-z и A) ). Корректно: ZF1.
D4 : u(x) = y <:=:> /\(a) ( a:-y <=> (\/(z) z:-x и a:-z) ). Корректно: ZF1.
воскресенье, октября 22, 2006
Второй Геометрический Семинар в МЦНМО
В четверг, 26 октября в 18.30 в конференц-зале МЦНМО (Большой Власьевский, 11)
состоится очередное (второе в этом учебном году) заседание геометрического семинара.
Докладчик: Олег Рустамович Мусин, "Проблема 13 шаров и родственные задачи".
Аннотацию к предстоящему докладу
Контактным числом k(3) называют наибольшее число непересекающихся единичных шаров в пространстве, касающихся одного единичного шара. Это число явилось предметом знаменитой дискуссии между И. Ньютоном и Д. Грегори в 1694 г.
Якобы Ньютон утверждал: k(3)=12, а Грегори: k(3)=13.
После нескольких ошибочных доказательств" [например, Хоппе (1874)], равенство k(3)=12 было доказано Шютте и ван дер Варденом в 1953 г.
В 2003 г. докладчик доказал равенство k(4)=24. Этим же методом получается доказательство (самое простое в настоящий момент): k(3)=12.
В докладе будет рассмотрена задача оптимального размещения точек на сфере (проблема Таммеса) и предложена схема доказательства равенства k(3)=12.
Приглашаем постоянных участников семинара и всех желающих!
состоится очередное (второе в этом учебном году) заседание геометрического семинара.
Докладчик: Олег Рустамович Мусин, "Проблема 13 шаров и родственные задачи".
Аннотацию к предстоящему докладу
Контактным числом k(3) называют наибольшее число непересекающихся единичных шаров в пространстве, касающихся одного единичного шара. Это число явилось предметом знаменитой дискуссии между И. Ньютоном и Д. Грегори в 1694 г.
Якобы Ньютон утверждал: k(3)=12, а Грегори: k(3)=13.
После нескольких ошибочных доказательств" [например, Хоппе (1874)], равенство k(3)=12 было доказано Шютте и ван дер Варденом в 1953 г.
В 2003 г. докладчик доказал равенство k(4)=24. Этим же методом получается доказательство (самое простое в настоящий момент): k(3)=12.
В докладе будет рассмотрена задача оптимального размещения точек на сфере (проблема Таммеса) и предложена схема доказательства равенства k(3)=12.
Приглашаем постоянных участников семинара и всех желающих!
среда, апреля 20, 2005
Задачи с форума абитуриентов (mmonline.ru)
Товарищ play_ опубликовал три задачи (как я полагаю вступительные с мехмата), а я размещаю опубликованное мною, на том же форуме решение всех трёх задач.
Вот сами задачи:
Вот сами задачи:
- Найти все трёхзначные натуральные числа, каждое из которых больше суммы квадратов своих цифр на 517.
- Найти все пары чисел p и q, при которых неравенство l x^2-p*x+q l>2 не имеет решений на отрезке [1;5].
- Найти все значения параметра a, при каждом из которых сумма арктангенсов корней уравнения x^2+(1-2*a)+a-4=0 больше, чем Pi/4.
понедельник, апреля 04, 2005
Оригинальная задачка (Геофак - июль 2002)
Тележка с передними колёсами диаметром 30 см и задними колёсами диаметром 40 см движется по прямой дороге, проходящей через точки A и B. Между точками А и В ровно 100 метров. Точка А покрашена. Через точку А проезжают правые колёса тележки и в точках соприкосновения с ней эти точки красятся.. В свою очередь, при каждом соприкосновении с дорогой эти точки оставляют свой след в виде точек на дороге. Никакие точки на дороге, кроме точки А, колёса не окрашивают. Тележка движется по направлению от точки А в сторону точки В. Найти:
а) наименьшее расстояние между соседними окрашенными точками
б) количество окрашенных точек на отрезке АВ.
а) наименьшее расстояние между соседними окрашенными точками
б) количество окрашенных точек на отрезке АВ.
пятница, марта 04, 2005
Олимпиада МФТИ
Опубликовал решения и указания к 44-ой Традиционной олимпиаде МФТИ. Тут публикуется лишь математическая часть (без стереометрии), но если возникнет интерес, то могу рассказать как решать физику - там тоже 6 задач.
Есть два варианта для скачивания:
1) PDF - Условия + Решения (примерно 500 кб) - сюда...
2) Отдельные три файла зазипованные, но качество выше (6 Мегов) - сюда...
Есть два варианта для скачивания:
1) PDF - Условия + Решения (примерно 500 кб) - сюда...
2) Отдельные три файла зазипованные, но качество выше (6 Мегов) - сюда...
понедельник, февраля 28, 2005
Решение логической задачки
Опубликовал решение первой задачки из нашего раздела и основной задачи из раздела целочисленных треугольников. Господа, присылайте ваши решения, я буду очень рад прочитать их и опубликовать!
Смотрите комментарии к задаче (так будет всегда)
Небольшое объявление: Теперь публиковаться будут не полные решения, а очень подробные указание, иногда будут вместе с ними публиковаться и ответы. Планирую рассказывать тут и о решених задач олимпиад этого года (из прошедших это ММО-68 и Традиционная олимпиада МФТИ - 44). Скорее всего публиковать решения буду в виде ссылки на отсканированные, и написанные мною решения.
Смотрите комментарии к задаче (так будет всегда)
Небольшое объявление: Теперь публиковаться будут не полные решения, а очень подробные указание, иногда будут вместе с ними публиковаться и ответы. Планирую рассказывать тут и о решених задач олимпиад этого года (из прошедших это ММО-68 и Традиционная олимпиада МФТИ - 44). Скорее всего публиковать решения буду в виде ссылки на отсканированные, и написанные мною решения.
четверг, февраля 10, 2005
Базовые темы: Чётность
Хочу разобрать некоторые классические задачи олимпиадной математики начального уровня. Они все довльно простые, но эту группу "статей", сборников задач, называйте как хотите, я хочу посвятить скорее начинающим олимпиадникам.
Начнём с чётности - самой простой и отличной вводной темы:
(Задачи 1.1-1.5 взяты из зборника Н.Агаханова и О.Подлипского - замечательных математиков, работающих в МФТИ. Они стали авторами великого множества замечательных олимпиадных задач. Остальные задачи взяты из разных мест, чаще всего они есть у меня в электронном виде, в каких-то олимпиадах и списках, некоторые я придумал сам)
1. Крайне простые задачи:
1.1) Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличаетя на 1. Может ли на всех кустах быть вместе 225 ягод.
1.2) В Королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги так, чтобы из каждого города выходило ровно 7 дорог. Смогут ли строители выполнить наказ Короля?
1.3) Можно ли заменить звёздочки в равенстве 1 * 2 * ... * 10 = 0 на знаки "+" и "-" так, чтобы равенство стало верным?
1.4) Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограммы?
1.5) Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 купюр достоинством ы 1,3 и 5 рублей. (В ходу купюры достоинством 1,3,5,10,25,50 и 100 рублей).
1.6) Можно ли разменять 25 рублей при помощи 10 купюр достоинством 1, 3, 5 рублей?
1.7) Страницы книги пронумерованы подряд, от первой до последней. Из разных мест книги были вырваны всего 25 листов. Потом номера всех 50 выдранных страницы были сложены и получилось 1994. Не допустили ли арифметической ошибки?
1.8) На доске написаны четыре числа. Разрешается брать любые два из них, прибавить к ним по единице и записать полученные числа вместо выбранных. Можно ли с помощью нескольких операций из чисел 1, 9, 9, 4 получить 4 равных числа?
1.9) К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна.
продолжение следует...
Начнём с чётности - самой простой и отличной вводной темы:
(Задачи 1.1-1.5 взяты из зборника Н.Агаханова и О.Подлипского - замечательных математиков, работающих в МФТИ. Они стали авторами великого множества замечательных олимпиадных задач. Остальные задачи взяты из разных мест, чаще всего они есть у меня в электронном виде, в каких-то олимпиадах и списках, некоторые я придумал сам)
1. Крайне простые задачи:
1.1) Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличаетя на 1. Может ли на всех кустах быть вместе 225 ягод.
1.2) В Королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги так, чтобы из каждого города выходило ровно 7 дорог. Смогут ли строители выполнить наказ Короля?
1.3) Можно ли заменить звёздочки в равенстве 1 * 2 * ... * 10 = 0 на знаки "+" и "-" так, чтобы равенство стало верным?
1.4) Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограммы?
1.5) Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 купюр достоинством ы 1,3 и 5 рублей. (В ходу купюры достоинством 1,3,5,10,25,50 и 100 рублей).
1.6) Можно ли разменять 25 рублей при помощи 10 купюр достоинством 1, 3, 5 рублей?
1.7) Страницы книги пронумерованы подряд, от первой до последней. Из разных мест книги были вырваны всего 25 листов. Потом номера всех 50 выдранных страницы были сложены и получилось 1994. Не допустили ли арифметической ошибки?
1.8) На доске написаны четыре числа. Разрешается брать любые два из них, прибавить к ним по единице и записать полученные числа вместо выбранных. Можно ли с помощью нескольких операций из чисел 1, 9, 9, 4 получить 4 равных числа?
1.9) К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна.
продолжение следует...
Целочисленные треугольники (*)
К сожалению, данная задач есть у меня в электронном виде без решений, а в одной из олимпиад. В дальнейшем около названий таких задач, я буду ставить звёздочку в скобочках, как здесь. Такие задачи я публикую тут и так-же как и все сотальные решаю спустя некоторое время в комментариях. И как обычно я ожидаю и публикую ваши решения. Если в моём решении есть ошибка, то обязательно пишите.
А теперь к задаче:
Найдите все целочисленные треугольники, периметр которых равен площади. Целочисленным называется треугольник, стороны которого (длины) - целые числа.
----------------------------------------------------------------------------------
Мне очень нравится тема целочисленных треугольников, и навскидку помню ещё вот такие задачи про них (однf была на ВсеРосе):
А теперь к задаче:
Найдите все целочисленные треугольники, периметр которых равен площади. Целочисленным называется треугольник, стороны которого (длины) - целые числа.
----------------------------------------------------------------------------------
Мне очень нравится тема целочисленных треугольников, и навскидку помню ещё вот такие задачи про них (однf была на ВсеРосе):
- Докажите, что целочисленный треугольник не может иметь рациональных углов кроме 90; 60; 120. Какими могут быть его стороны при углах 60 и 120?
- Какими могут быть стороны прямоугольного целочисленного треугольника?
- Доказать, что если катеты прямоугольного теугольника выражаются квадратами целых чисел, то гипотенуза не может быть целым числом.
Логическая задача
Расскажу сегодня о довольно оригинальной логической задаче, которая тем не менее не отличается особой сложностью. Существует довльно много вариантов её решения, я расскажу об одном из них. Этот вариант предложил сам автор задачи. Я придумал ещё один, но о нём пожалуй позже. Тем более, что вариант автора намного красивее и нагляднее.
Формулировка:
Представьте себе, что перед вами стоят трое людей. Один из них всегда отвечает на вопрос правдиво, другой всегда врёт, а третий - личность весьма загадочная: он то врёт, то правду говорит. Кто из них кто вам заранее неизвестно, хотя сами эти люди отлично знают всё друг про друга. Каким образом вы с помошью трёх вопросов можете выяснить кто из них кто? Каждый вопрос можно задавать любому из трёх людей. Формулируйте вопрос так, чтобы на него можно было ответить ДА или НЕТ.
Подсказка:
"Обзовите" каждого человека буквой. Сколько существует различных перестановок из трёх букв?
Через некоторое время, я опубликую тут решение или решения задачи, если вы пришлёте мне свои, то опубликую все правильные. Тогда же будет опубликовано имя автора и источник задачи.
Формулировка:
Представьте себе, что перед вами стоят трое людей. Один из них всегда отвечает на вопрос правдиво, другой всегда врёт, а третий - личность весьма загадочная: он то врёт, то правду говорит. Кто из них кто вам заранее неизвестно, хотя сами эти люди отлично знают всё друг про друга. Каким образом вы с помошью трёх вопросов можете выяснить кто из них кто? Каждый вопрос можно задавать любому из трёх людей. Формулируйте вопрос так, чтобы на него можно было ответить ДА или НЕТ.
Подсказка:
"Обзовите" каждого человека буквой. Сколько существует различных перестановок из трёх букв?
Через некоторое время, я опубликую тут решение или решения задачи, если вы пришлёте мне свои, то опубликую все правильные. Тогда же будет опубликовано имя автора и источник задачи.
Подписаться на:
Сообщения (Atom)