Теория множеств [2] - начало см. ниже

Операции над множествами:

T1 : Если x и y - множества, то {x,y} = {y,x} и {x,y} != {O}.
# Пусть z = {x,y}. По D2 /\(a) (a:-z <=> (a = x или a = y)) =>
# /\(a) (a:-z <=> (a = y или a = x)) =>z = {y,x}. По D2 x:-{x,y} =>
# {x,y} != {O} по ZF1.

D5 [Пересечение] : n(x) := {a:-u(x) | /\(b:-x) a:-b}.
D6 [Базовые операции] : x u y = u({x,y}) , x n y = n({x,y}), x\y = {a:-x|!(a:-y)}. x u y, x n y, x\y - множества: ZF5, ZF4.

T2 : Если x,y,z - множества, то
(1) x u y = z <=> /\(a) ( a:-z <=> (a:-x или a:-y) ),
(2) x n y = z <=> /\(a) ( a:-z <=> (a:-x и a:-y) ),
(3) x\y = z <=> /\(a) ( a:-z <=> a:-x и !(a:-y) ),
# (1) (=>) Пусть x u y = z. По D6 z = u({x,y}). Тогда /\(a) : a:-z <=> a:-u({x,y}) <=>
# \/(w) w:-{x,y} и a:-w <=> \/(w) (w = x или w = y) и a:-w <=> a:-x или a:-y. Q.E.D.
# (1) (<=) Пусть /\(a) a:-z <=> (a:-x или a:-y). /\(a) : a:-z <=> (a:-x или a:-y) <=>
# \/(w) (w = x или w = y) и a:-w <=> \/(w) w:-{x,y} и a:-w <=> a:-u({x,y}) <=>
# a:-x u y. z = x u y по ZF1. Q.E.D.
# (2) (=>) Заметим x n y = n({x,y}) = {a:-u({x,y}) | /\(b:-{x,y}) a:-b} = {a:-x u y | a:-x и a:-y}.
# Пусть x n y = z. Тогда z = {a:-x u y | a:-x и a:-y}. /\(a) очевидно (a:-z => a:-x и a:-y).
# Если a:-x и a:-y, тогда a:-u({x,y}) = x u y по D2, D6.
# Поэтому a:-{b:-x u y | b:-x и b:-y} по D3 => a:-z. Q.E.D
# (2) (<=) Пусть /\(a) a:-z <=> a:-x и a:-y. /\(a) : a:-z <=> a:-x и a:-y <=>
# a:-{b:-x u y | b:-x и b:-y} <=> a:- x n y => z = x n y по ZF1. Q.E.D.
# (3) x\y = z <=> z = {b:-x|!(b:-y)} <=> a:-z <=> a:-x и !(a:-y)). Q.E.D.

T3 [Булева Алгебра] : Если x,y,z - множества, то
(1) x u {O} = x,
(2) x u y = y u x,
(3) (x u y) u z = x u (y u z),
(4) x n {O} = {O},
(5) x n y = y n x,
(6) (x n y) n z = x n (y n z),
(7) x u (y n z) = (x u y) n (x u z),
(8) x n (y u z) = (x n y) u (x n z),
(9) z\(x u y) = (z\x) n (z\y),
(10) z\(x n y) = (z\x) u (z\y).
# легко доказать используя T2 и ZF1

D7 [Включение] : x c y <:=:> /\(a) (a:-x => a:-y).

T4 [Свойства включения] : Если x,y,z - множества, то
(1) {O} c x,
(2) x c x,
(3) x c y и y c z => x c z,
(4) x c y и y c x => x = y,
(5) x c y => (z u x) c (z u y),
(6) x c y => (z n x) c (z n y),
(7) y\x c y.
# легко доказать используя T2 и ZF1

T5 : Если x,y,z - множества, то
(1) x c y u x,
(2) x c y n x.
(3) y c x => x\(x\y) = y.
# (1) {O} c y по T4.1. В силу Т.4.5, T.3.1 x = (O u x) c y u x.
# (2) {O} c y по T4.1. В силу Т.4.5, T.3.1 x = (O n x) c y n x.
# (3) Имеем x\(x\y) = {z:-x | !(z:-x\y)} = {z:-x | !(z:-x и !(x:-y))} =
# = {z:-x | !(z:-x) or x:-y} = {z:-x | x:-y} = y.

T6 : Если x,z - множества, z:-x и z != O, то u(x) != O.
# /\(a) (a:-u(x) <=> \/(b:-x) a:-b) по D2. Имеем z:-x и z != O.
# Тогда a:-z => a:-u(x) => u(x) != O. Q.E.D.

Теория множеств [1]

Обозначения:

/\ - для любых
\/ - существует
! - не
:- принадлежит
<:=:> - тогда и только тогда по определению
:= - определяется как (равно по определению)
{O} - пустое множество
u(x) - объединение по всем элементам семейства x.

В ZF основными (неопределяемыми) понятиями являются = и :-.

Аксиомы теории множеств ZF:

ZF1 [Объёмности] : x = y <=> ( /\(z) z:-x <=> z:-y )
Два множества равны <=> они состоят из одних элементов.
ZF2 [Пустого можества] : \/(y) : /\(x) !(x:-y)
Существует пустое множество.
ZF3 [Неупорядоченной пары] : \/(z) : /\(a) : (a:-z <=> (a = x или a = y))
Для любых двух множеств, существует множество, чьими единственными элементами они являются.
ZF4 [Выделения] : /\(z) \/(y) : /\(x) ( x:-y <=> (x:-z и A(x)) ). A - не содержит y.
Для любого множества z и свойства A, такого что на z оно либо истино, либо ложно, существует множество, состоящее в точности из тех x, для которых A(x) - истинно.
ZF5 [Объединения] : \/(y) : /\(a) ( a:-y <=> (\/(z) z:-x и a:-z) ).
Для любого множества x существует множество u(x), состоящее в точности из всех элементов, принадлежащих элементам из x
ZF6 [Степени] : /\(x) \/(z) : /\(y)( y:-z <=> ( /\(a) (a:-y => a:-x) ) ).
Для любого множества x существует множество всех его подмножеств P(x).
ZF7 [Бесконечности] : \/(m) : {O}:-m и /\(x) (x:-m => u({x,{x}}):-m).
Индуктивные множества существуют.
ZF9 [Фундирования] : x != {O} => \/(y) (y:-x и /\(a) !(a:-x и a:-y)).
Не существует убывающих цепей: x:-x, x:-y:-x, x:-y:-z:-x, ...

Определения:

D1 : {O} = y <:=:> /\(x) !(x:-y). Определение корректно, т.к. такое множество единственно: ZF1.
D2 : {x,y} = z <:=:> /\(a) (a:-z <=> (a = x или a = y)). Определим {x} = {x,x}. Корректно: ZF1.
D3 : {x:-z | A} = y <:=:> if /\(x) ( x:-y <=> (x:-z и A) ). Корректно: ZF1.
D4 : u(x) = y <:=:> /\(a) ( a:-y <=> (\/(z) z:-x и a:-z) ). Корректно: ZF1.

Второй Геометрический Семинар в МЦНМО

В четверг, 26 октября в 18.30 в конференц-зале МЦНМО (Большой Власьевский, 11)
состоится очередное (второе в этом учебном году) заседание геометрического семинара.
Докладчик: Олег Рустамович Мусин, "Проблема 13 шаров и родственные задачи".

Аннотацию к предстоящему докладу
Контактным числом k(3) называют наибольшее число непересекающихся единичных шаров в пространстве, касающихся одного единичного шара. Это число явилось предметом знаменитой дискуссии между И. Ньютоном и Д. Грегори в 1694 г.
Якобы Ньютон утверждал: k(3)=12, а Грегори: k(3)=13.
После нескольких ошибочных доказательств" [например, Хоппе (1874)], равенство k(3)=12 было доказано Шютте и ван дер Варденом в 1953 г.
В 2003 г. докладчик доказал равенство k(4)=24. Этим же методом получается доказательство (самое простое в настоящий момент): k(3)=12.
В докладе будет рассмотрена задача оптимального размещения точек на сфере (проблема Таммеса) и предложена схема доказательства равенства k(3)=12.

Приглашаем постоянных участников семинара и всех желающих!