Задачи с форума абитуриентов (mmonline.ru)

Товарищ play_ опубликовал три задачи (как я полагаю вступительные с мехмата), а я размещаю опубликованное мною, на том же форуме решение всех трёх задач.

Вот сами задачи:

1. Найти все трёхзначные натуральные числа, каждое из которых больше суммы квадратов своих цифр на 517.
2. Найти все пары чисел p и q, при которых неравенство l x^2-p*x+q l>2 не имеет решений на отрезке [1;5].
3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых сумма арктангенсов корней уравнения x^2+(1-2*a)+a-4=0 больше, чем Pi/4.

А вот подробные решения:

1. Задача №1
2. Задача №2
3. Задача №3
   

Оригинальная задачка (Геофак - июль 2002)

Тележка с передними колёсами диаметром 30 см и задними колёсами диаметром 40 см движется по прямой дороге, проходящей через точки A и B. Между точками А и В ровно 100 метров. Точка А покрашена. Через точку А проезжают правые колёса тележки и в точках соприкосновения с ней эти точки красятся.. В свою очередь, при каждом соприкосновении с дорогой эти точки оставляют свой след в виде точек на дороге. Никакие точки на дороге, кроме точки А, колёса не окрашивают. Тележка движется по направлению от точки А в сторону точки В. Найти:

а) наименьшее расстояние между соседними окрашенными точками
б) количество окрашенных точек на отрезке АВ.

Олимпиада МФТИ

Опубликовал решения и указания к 44-ой Традиционной олимпиаде МФТИ. Тут публикуется лишь математическая часть (без стереометрии), но если возникнет интерес, то могу рассказать как решать физику - там тоже 6 задач.

Есть два варианта для скачивания:
1) PDF - Условия + Решения (примерно 500 кб) - сюда...
2) Отдельные три файла зазипованные, но качество выше (6 Мегов) - сюда...

Решение логической задачки

Опубликовал решение первой задачки из нашего раздела и основной задачи из раздела целочисленных треугольников. Господа, присылайте ваши решения, я буду очень рад прочитать их и опубликовать!

Смотрите комментарии к задаче (так будет всегда)

Небольшое объявление: Теперь публиковаться будут не полные решения, а очень подробные указание, иногда будут вместе с ними публиковаться и ответы. Планирую рассказывать тут и о решених задач олимпиад этого года (из прошедших это ММО-68 и Традиционная олимпиада МФТИ - 44). Скорее всего публиковать решения буду в виде ссылки на отсканированные, и написанные мною решения.

Базовые темы: Чётность

Хочу разобрать некоторые классические задачи олимпиадной математики начального уровня. Они все довльно простые, но эту группу "статей", сборников задач, называйте как хотите, я хочу посвятить скорее начинающим олимпиадникам.

Начнём с чётности - самой простой и отличной вводной темы:
(Задачи 1.1-1.5 взяты из зборника Н.Агаханова и О.Подлипского - замечательных математиков, работающих в МФТИ. Они стали авторами великого множества замечательных олимпиадных задач. Остальные задачи взяты из разных мест, чаще всего они есть у меня в электронном виде, в каких-то олимпиадах и списках, некоторые я придумал сам)

1. Крайне простые задачи:

1.1) Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличаетя на 1. Может ли на всех кустах быть вместе 225 ягод.
1.2) В Королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги так, чтобы из каждого города выходило ровно 7 дорог. Смогут ли строители выполнить наказ Короля?
1.3) Можно ли заменить звёздочки в равенстве 1 * 2 * ... * 10 = 0 на знаки "+" и "-" так, чтобы равенство стало верным?
1.4) Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограммы?
1.5) Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 купюр достоинством ы 1,3 и 5 рублей. (В ходу купюры достоинством 1,3,5,10,25,50 и 100 рублей).
1.6) Можно ли разменять 25 рублей при помощи 10 купюр достоинством 1, 3, 5 рублей?
1.7) Страницы книги пронумерованы подряд, от первой до последней. Из разных мест книги были вырваны всего 25 листов. Потом номера всех 50 выдранных страницы были сложены и получилось 1994. Не допустили ли арифметической ошибки?
1.8) На доске написаны четыре числа. Разрешается брать любые два из них, прибавить к ним по единице и записать полученные числа вместо выбранных. Можно ли с помощью нескольких операций из чисел 1, 9, 9, 4 получить 4 равных числа?
1.9) К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна.

продолжение следует...

Целочисленные треугольники (*)

К сожалению, данная задач есть у меня в электронном виде без решений, а в одной из олимпиад. В дальнейшем около названий таких задач, я буду ставить звёздочку в скобочках, как здесь. Такие задачи я публикую тут и так-же как и все сотальные решаю спустя некоторое время в комментариях. И как обычно я ожидаю и публикую ваши решения. Если в моём решении есть ошибка, то обязательно пишите.

А теперь к задаче:

Найдите все целочисленные треугольники, периметр которых равен площади. Целочисленным называется треугольник, стороны которого (длины) - целые числа.

----------------------------------------------------------------------------------
Мне очень нравится тема целочисленных треугольников, и навскидку помню ещё вот такие задачи про них (однf была на ВсеРосе):

• Докажите, что целочисленный треугольник не может иметь рациональных углов кроме 90; 60; 120. Какими могут быть его стороны при углах 60 и 120?
• Какими могут быть стороны прямоугольного целочисленного треугольника?
  
• Доказать, что если катеты прямоугольного теугольника выражаются квадратами целых чисел, то гипотенуза не может быть целым числом.

Логическая задача

Расскажу сегодня о довольно оригинальной логической задаче, которая тем не менее не отличается особой сложностью. Существует довльно много вариантов её решения, я расскажу об одном из них. Этот вариант предложил сам автор задачи. Я придумал ещё один, но о нём пожалуй позже. Тем более, что вариант автора намного красивее и нагляднее.

Формулировка:

Представьте себе, что перед вами стоят трое людей. Один из них всегда отвечает на вопрос правдиво, другой всегда врёт, а третий - личность весьма загадочная: он то врёт, то правду говорит. Кто из них кто вам заранее неизвестно, хотя сами эти люди отлично знают всё друг про друга. Каким образом вы с помошью трёх вопросов можете выяснить кто из них кто? Каждый вопрос можно задавать любому из трёх людей. Формулируйте вопрос так, чтобы на него можно было ответить ДА или НЕТ.

Подсказка:

"Обзовите" каждого человека буквой. Сколько существует различных перестановок из трёх букв?

Через некоторое время, я опубликую тут решение или решения задачи, если вы пришлёте мне свои, то опубликую все правильные. Тогда же будет опубликовано имя автора и источник задачи.